O jazyce matematického textu

Ladislav Nebeský

[Články]

(pdf)

О языке математического текста / On the language of a mathematical text

Psát o jazyce matematického textu je něco jiného než psát o jazyce vědeckého textu vůbec.[1] Vztah matematiky k matematickým textům je velmi těsný, podstatně těsnější než např. vztah biologie k biologickým textům. Pro matematiku totiž texty znamenají i to, co pro jiné vědní obory znamená třídění empirických dat, vývoj přístrojů, experimenty apod; takovým dovednostem, jakými jsou v jiných oborech např. příprava preparátů nebo různá měření, odpovídá v matematice opracovávání myšlenky, a tedy vlastně práce s jazykem. Těsnost vztahu matematiky k matematickým textům se obráží v osobitosti jejich stavby; ta je patrná na každé úrovni, grafematickou počínaje (srov. např. výskyt grafémů jako a_o, ξ, + nebo ⊆) a globálním členěním textu konče (srov. např. výskyt tak vyhraněných a autonomních úseků v textu, jako jsou důkazy). Jazykem matematického textu bychom se zde nezabývali, kdyby jím byl nějaký uměle vytvořený kalkul. Na stavbě matematického textu se však spolu s prostředky umělými podílejí i prostředky přirozené.

K metodám široce užívaným v empirických vědách patří studium objektů vystavených extrémním podmínkám; takové studium může vést nejen k hlubšímu poznání objektů, ale i k lepšímu pochopení toho, jak se projevují za podmínek „normálních“. Objektem vystaveným extrémním podmínkám je i přirozený jazyk matematického textu; přirozené aspekty jazyka jsou zde pod dvojím tlakem: jsou tísněny konkurencí uměle vytvořených jazykových prostředků a zároveň nuceny k vyjadřování ryze abstraktního a exaktního obsahu. K postižení přirozených aspektů jazyka působícího v extrémních podmínkách matematického textu se zde pokusíme přispět.

Kudy v jazyce matematického textu povedeme hranici mezi aspekty přirozenými a umělými, závisí na tom, na základě jakého hlediska intuitivně přijatelné pojmy „přirozený“ a umělý“ zpřesníme. Jedním z možných zpřesnění hranic mezi přirozeným a umělým v jazyce matematického textu je vytyčení hranice mezi verbálním a neverbálním (symbolickým) vyjádřením. Jak již bylo řečeno jinde,[2] jde o hranici, na které se zpravidla zastavuje lingvistický rozbor textu. Tato hranice bývá většinou zřejmá na první pohled. O tom, že tomu tak není vždy, svědčí jak výrazy typu (k — 1)-souvislý nebo (m + n)-rozměrný, tak především výpovědi, v nichž se verbální vyjádření střídá s matematickými výrazy na různých úrovních, jak je tomu např. ve větě

Množina {n ε N; buď f(n), nebo g(n) je prvočíslo} je nekonečná.

Zajímavým rysem matematického textu je to, že se v něm verbální i neverbální výrazy mohou navzájem zastupovat. Zatímco výrok

Existuje přirozené n takové, že 2ⁿ — 1|3

lze považovat za české souvětí, ve kterém matematické výrazy n a 2ⁿ — 1|3 přejaly úlohy, které jinak plní slovní tvary nebo jejich spojení, výrok

Ǝ n ε N(2ⁿ — 1 je dělitelné třemi)

lze považovat za matematickou formuli, v níž slovní spojení je dělitelné třemi přejalo úlohu matematického výrazu.

[89]My však při zpřesňování pojmů přirozený a umělý dáme přednost hledisku jinému; pro odlišení od intuitivních pojmů zavedeme pro zpřesněné pojmy jiné termíny. Budeme říkat, že jednotka jazyka daného matematického textu je strnulá, když je její funkce v jazyce přesně určena. K tomuto určení jazykové jednotky může dojít definicí, dohodou o jejím užívání nebo zadáním axiómů, v nichž se objevuje; jednotku budeme považovat za strnulou nezávisle na tom, zda k určení její funkce došlo v textu samém nebo na jiném místě, k němuž text odkazuje nebo k němuž se třeba implicitně, ale zcela jednoznačně hlásí. Všem jednotkám jazyka matematického textu, které nejsou strnulé, budeme říkat živé. K postižení strnulých jazykových jednotek je třeba zjistit, v jaké funkci jsou v textu užity. V jazycích různých matematických textů může mít táž forma zcela různé funkce. Např. v jednom textu může písmeno π označovat Ludolfovo číslo (tj. konstantu 3,1415…) a v druhém nějakou permutaci. Písmeno m ve výrazu z_n^m může v jednom textu fungovat jako označení m-té mocniny (výraz z_n^m potom značí m-tou mocninu čísla z_n) a v druhém textu může být m indexem podobně jako n.

Jak jsme již řekli, funkce strnulé jednotky může být určena až v textu samém. Stojí za zdůraznění, že téže formě mohou být v textu postupně přiřazovány různé úlohy. K vícenásobnému využívání téže formy v textu vede především účelné hospodaření s inventářem výrazových prostředků. Tak např. v každé z paralelních větví téhož důkazu může být týž výraz užit v jiném významu. S každou novou úlohou, která je v textu výrazu přisouzena, jeho předchozí úloha ovšem končí. Některé části matematického textu — především teorémy a jejich důkazy — jsou natolik autonomní, že jazykové jednotky v nich zavedené jsou platné pouze tam. Chceme-li, aby jazyková jednotka zavedená v jednom teorému vystupovala i v teorému dalším, musíme její definici obnovit (tj. buď definici opakovat, nebo prohlásit, že daný výraz označuje totéž, co v teorému předchozím).

Strnulé jazykové jednotky nenacházíme pouze mezi matematickými výrazy, ale i mezi slovy a spojením slov. K strnulým jednotkám patří slova, jejichž užití je v široké části matematické literatury stabilní; tedy např. slova průnik, prázdný, vzájemně, zobrazit, některý, nebo a na.[3] Dále slova, která jsou v stabilním významu užívána v nějakém užším oboru matematiky (a třeba jen v rámci jednoho z jeho terminologických proudů); v jiných oborech matematiky mohou mít táž slova buď význam odlišný, anebo vůbec žádný. Na takové příklady je bohatá terminologie teorie grafů;[4] v teorii grafů je trojúhelník kružnicí, had a hvězda housenkami a housenka stromem. K strnulým jednotkám jazyka daného textu patří tedy slova, která se v rámci nějaké části matematiky, k níž text patří, ustálila jako termíny. Ale vedle nich patří k strnulým jednotkám i slova, jimž byla úloha přisouzena až v textu samém a třeba jen v rámci jediného důkazu. Může jít o slova jako základ, přípustný, normální apod.; najdeme je v různých tematicky velmi vzdálených textech (popř. užších oborech) a užívá se jich k rozlišování pojmů: je-li vhodné v rámci studované třídy matematických objektů vydělit nějakou podtřídu pro podrobnější studium, lze prvky této podtřídy vyznačit tak, že je označíme za „normální“. Spolehlivě zjistit, která slova a slovní spojení jsou v jazyce daného matematického textu strnulá, nelze bez základního přehledu o oboru, do něhož text patří, a bez podrobnější znalosti obsahu textu samého.

I když zde odhlížíme od takových částí matematického textu, jakými jsou úvodní úvahy, motivační poznámky, nástin historie problému, poděkování apod., nacházíme v jazyce matematického textu slova a slovní spojení živá, tj. taková, jejichž funkce [90]nebyla přesně vymezena. Živé výrazy v matematickém textu jsou v podstatě dvojího druhu. K prvnímu patří ty, s jejichž pomocí se vyjadřují jednotlivé matematické myšlenky (tj. s jejichž pomocí se hovoří o matematických objektech), a k druhému ty, s jejichž pomocí se jednotlivé matematické myšlenky řadí za sebou.

Inventář výrazů prvního druhu je silně závislý na typu matematických objektů, o nichž text pojednává, tedy vlastně na tom, do jakého užšího oboru text patří. Je-li např. tímto oborem teorie grafů, je pravděpodobné, že v textu najdeme některá ze slov jako kopie, barva, vyjmout, vynechat, nahradit, vložit apod. užitá jako živé jazykové jednotky při konstrukci grafů a popisu jejich vlastností. Jazyky různých textů z teorie grafů se liší v tom, že totéž slovo je v jednom užíváno jako strnulé a v druhém jako živé; takové rozdíly v užití bychom nalezli např. u slovesa spojit (užitého ve výrazu typu spojit uzly). Zajímavé postavení má často užívané slovo barva (užívané k rozlišování různých množin uzlů nebo hran v grafu); zpravidla je to živá jazyková jednotka, ale některé jeho odvozeniny (např. barevnost) jsou v jazycích některých textů z teorie grafů jednotkami strnulými.

Inventář výrazů druhého druhu je dosti stálý. Patří k němu slovní spojení jako všimněme si, přesvědčíme se, není těžké ukázat, je obdobný, snadno nahlédneme, je zřejmé apod.[5] Inventáře výrazů prvního a druhého druhu mají společné prvky. Patří k nim např. část předložek, spojek a zájmen. K živým jazykovým prostředkům lze řadit všechny gramatické prostředky jazyka, jejichž užití může vést ke konstrukční homonymii, pokud žádná dohoda platná v jazyce daného matematického textu tuto homonymii neeliminuje. Tak např. bude k živým jednotkám jazyka daného matematického textu patřit zájmeno který, pokud neexistuje žádná dohoda, jež by ve slovním spojení typu podgraf F grafu G, který obsahuje kružnici K umožnila bez dalšího určit, zda bylo řečeno, že kružnice K je obsažena v F nebo G.

Protiklad živého a strnulého má v jazyce matematického textu důležité postavení. Je však třeba si všimnout i toho, že tento protiklad může být několikerým způsobem oslaben. Bez nároků na úplnost uvedeme pět možných způsobů jeho oslabení.

1. Užití výrazu není určeno v textu samém. Přitom v oboru, do něhož text patří, jsou výrazu přisuzovány alespoň dva různé, ale zároveň v nějakém smyslu blízké významy a není přitom dáno, ke kterému zdroji definic se text hlásí.

2. Témuž výrazu jsou v textu připsány alespoň dva různé a paralelně platné významy, které jsou v nějakém smyslu blízké.

3. Týž výraz může být v textu užit jako strnulý i jako živý.

Případy 1.-3. mohou nastat např. při užívání slova cesta, které se v teorii grafů objevuje v alespoň dvou významech různých, ale blízkých: cestou se nazývá posloupnost uzlů a hran jistého druhu i graf jistých vlastností. Jiným příkladem případu (3) jsou předložky do a na, které se v některých kontextech užívají jako strnulé jednotky, ale mimo ně jsou živými jazykovými jednotkami.

4. Výraz je v textu definován tak, že jsou při tom užity jazykové prostředky, které samy strnulé nejsou. S tímto případem se setkáme v příkladu, který budeme rozebírat níže.

5. Výraz není nikde určen, ale je zvykem nahrazovat jím nějakou strnulou jazykovou jednotku. Takové nahrazení je však někdy možné jen za cenu dalších změn v širším kontextu. Takto např. sloveso vidět někdy nahrazuje sloveso dokázat (které považujeme za strnulé).

Pokusili jsme se rozlišit to, co je v jazyce matematického textu živé, od toho, co je v něm strnulé. Nyní si povšimněme toho, jak živé a strnulé v matematickém textu funguje. Cílem matematického textu je vyjádřit nějaký ryze abstraktní a exaktní [91]obsah. K dosažení tohoto cíle jsou do textu zaváděny strnulé jazykové jednotky. Spolu s nimi však v textu působí i jazykové jednotky živé. Jak je však vůbec možné, aby byl exaktní obsah vyjadřován jazykovými prostředky, jejichž užití není přesně vymezeno a jejichž „normální“ užívání má daleko k tomu stupni abstrakce, která je vlastní matematice?

Pro případ živých prostředků prvního druhu se tuto otázku pokusíme zodpovědět rozborem příkladu. Budeme porovnávat následující tři formulace:

(A) Graf G′ definujeme takto; U(G′) = U(G) ∪ {u₁, u₂}, H(G′) = (H(G) — {h}) ∪ {{u₀, u₁}, {u₁, u₂}, {u₂, u}}, kde h = {u₀, u}, u₁ ≠ u₂ a u₁, u₂, ∉ U(G).[6]

(B) Graf G′ získáme z grafu G tak, že hranu h grafu G rozdělíme na tři nové hrany.

(C) Graf G′ získáme z grafu G tak, že do hrany h grafu G vložíme dva nové uzly.

Všechny tři formulace nám ukazují, jak z grafu G a jedné jeho hrany h vznikne nový graf G′. Rozumíme-li všem třem formulacím správně (tj. shodně se záměrem autora), dostáváme pokaždé týž výsledný graf (přesněji řečeno výsledné grafy jsou izomorfní). Zatímco formulace (A) se opírala přímo o definici pojmu graf, formulace (B) hovoří o dělení hrany na hrany nové a formulace (C) o vkládání nových uzlů do hrany (kdybychom chtěli představu, kterou má vyvolat formulace (C), posílit, mohli bychom místo výrazu dva nové uzly užít výraz dva nové uzly stupně dva). Podle definice grafu je hrana dvouprvková množina uzlů. Takové vidění hrany, jaké dává definice grafu, mohlo by tedy stěží být oporou pro pochopení postupu, který se v (B) opisuje jako dělení hrany na nové hrany a v (C) jako vkládání nových uzlů do hrany. Nikoli abstraktní definice grafu, ale zkušenost s jeho zobrazováním pomocí bodů jako uzlů a čar jako hran je oporou pro představu dělení hrany na nové hrany a vkládání nových uzlů do hrany. Přesné chápání pojmu grafu, které se může opřít o definici grafu, umožňuje potom tyto představy zbavit nadbytečné konkrétnosti a přijmout je jako popis přesného abstraktního postupu.

Živé jazykové prostředky druhého druhu často nacházíme v nejzávažnějších částech matematického textu — v důkazech. Nezřídka to bývají živá spojení typu snadno nahlédneme, tedy živá spojení obsahově velmi neurčitá. Vyjádření matematického důkazu v textu zdaleka neobráží celou složitost jeho myšlenkové stavby. Vyjádření jednotlivých matematických argumentů v důkazu i výroky, které tyto argumenty propojují, vlastně jen stimulují myšlenkový pohyb matematického čtenáře a regulují směr tohoto pohybu. Neurčité výrazy typu snadno nahlédneme zastupují přesné argumenty. Užívá se jich s přesvědčením, že v daném bodu argumentace je směr myšlenkového pohybu natolik přesný, že argument zastoupený neurčitým výrazem nemůže být minut.

Při psaní matematického textu je autor stavěn před opakovanou volbu, v jaké míře pro vyjádření jednotlivého myšlenkového postupu užít živé jazykové prostředky. Jde-li o myšlenkový postup, který je v textu frekventovaný, je obvyklé zavést strnulé prostředky, s jejichž pomocí lze opakování myšlenkového postupu úsporně vyjádřit. Jde-li o myšlenku, jejíž vyjádření pomocí živých prostředků by nutně bylo těžkopádné, je volba rovněž snadná. Volba se však stává obtížnou, když jde o myšlenkový postup, který je v textu jedinečný nebo řídký a přitom volíme mezi stručným vyjádřením založeným především na živých prostředcích a těžkopádné formulaci opírající se hlavně o prostředky strnulé.[7] Potom záleží na autorovi, aby uvážil, zda předchozí sled myšlenek je spolehlivým klíčem k tomu, aby matematický čtenář vyčetl z „živé“ formulace správný obsah.

[92]Závěr. Ke studiu jazyka matematického textu lze přistupovat z různých aspektů. Zde jsme se pokusili ukázat, jak se na stavbě matematického textu podílejí přirozené jazykové prostředky, tedy jak se na stavbě celku jednoznačného a přesného podílejí jazykové prostředky, které samy o sobě fungují více či méně nepřesně či mnohoznačně. Matematický text vytváří pro užití přirozeného jazyka extrémní podmínky. Lze očekávat, že soustavnější studium toho, jak v takových i jiných extrémních podmínkách přirozené jazykové prostředky fungují, by přispělo k hlubšímu poznání procesu sdělování.

 

LITERATURA

 

HALMOS, P. R.: Jak psát matematiku. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, 19, 1974, s. 66—74 a 127—140.

NEBESKÝ, L.: The arteficiality and naturalness of the language of mathematics. Linguistica generalia 2 (v tisku).

NEŠETŘIL, J.: Teorie grafů. Praha 1979.

SEDLÁČEK, J.: Úvod do teorie grafů. Praha 1982.

 

R É S U M É

On the langue of a mathematical text

The methods that are widely used in the empirical sciences include the study of objects exposed to extreme conditions. This study facilitates not only a deeper understanding of these objects, but also a better appreciation of how they act under „normal“ conditions. One object exposed to extreme conditions is natural language as used in mathematical texts, where it is subject to two kinds of pressure; it suffers from competition with arteficial means of expression, and it is forced into expressing absolutely exact ideas. The problem of the functioning of natural language in the extreme environment of mathematical texts is the subject of this paper.

Slovo a slovesnost, ročník 43 (1982), číslo 2, s. 88-92

Předchozí Pauli Saukkonen (Finsko): Text, text-typ a styl z hlediska sémiotického

Následující Petr Karlík: Souvětné vyjadřování postojů mluvčího