Poznámka o logické stavbě podobnosti

Otakar Zich

[Articles]

(pdf)

Заметка к логическому строению подобия / Remarque sur la structure logique de la similitude

V této úvaze se omezíme na podobnost mezi objekty, které odpovídají individuím báze predikátové logiky prvního řádu. Je-li a prvek báze a Q znak jednomístného predikátu prvního řádu, označuje Q(a) výrok: a má vlastnost Q; analogicky, jsou-li a, b prvky báze a R znak dvojmístného predikátu prvního řádu, označuje R(a, b) výrok: a je ve vztahu R k b. Protože se v dalším omezíme na predikáty s jednou nebo dvěma volnými proměnnými individuí, budeme zapisovat R(a, b) raději v obvyklém tvaru dvojčlenných vztahových výroků, totiž aRb.

Omezení na predikátovou logiku prvního řádu činíme výslovně. Nebudeme tedy brát v úvahu podobnost mezi třídami nebo relacemi, tj. podobnosti vyšších řádů. Omezení si klademe proto, poněvadž nechceme překročit elementární charakter této poznámky a zkoumání podobností vyšších řádů by si vyžádalo náročnější aparát.[1]

I. Z hlediska moderní logiky lze charakterizovat relaci podobnosti dvěma požadavky, totiž reflexivitou a symetrií. Toto vymezení relace podobnosti je přijímáno běžně v logice a matematice, alespoň od prvního vydání proslulého díla Russellova a Whiteheadova Principia Mathematica (1910—1913). Oba požadavky jsou pokládány za intuitivně zřejmé. Neboť každý objekt je jistě podoben sám sobě (reflexivita), tj. pro každé x je pravdivé xPx, což zapíšeme pomocí univerzálního kvantifikátoru takto: (x)xPx (1). Za druhé, je-li libovolné x podobné libovolnému y, je takové y podobné onomu x, což zapíšeme stručně (x) (y) (xPy → yPx) (2). Lze snadno ukázat, že v soustavě klasické predikátové logiky se dá z (2) vyvodit podmínka (x) (y) (xPy ≡yPx) (2'). Tento záznam čteme: pro každou dvojici x, y platí, že x je podobné y tehdy a jen tehdy, je-li y podobné x.

Každý dvojmístný predikát P vyhovující požadavkům (1) a (2), resp. (1) a (2') patří do třídy SIM (similis), totiž predikátů charakterizujících podobnost, což vyjádříme stručně P ∊ SIM. Predikát (relace) tohoto druhu nemá však, obecně řečeno, další vlastnost, velmi důležitou v teorii vztahů, totiž tranzitivitu. O tranzitivitě P mluvíme, je-li splněn požadavek

(x) (y) (z) (xPy . yPz → xPz)

(3),

tj. platí pro každé x, y, z toto: je-li x ve vztahu P k y a y ve vztahu P k z, pak je x ve vztahu P k z.

Podmínkám (1), (2), (3) vyhovují dvojmístné predikáty, známé pod názvem predikátů typu rovnosti AEQ (aequalis), neboť rovnost je výrazným (zdaleka ovšem ne jediným) predikátem, který všem třem podmínkám vyhovuje.

Lze snadno nahlédnout, že relace typu SIM nemusí splňovat požadavek (3). Mějme barevné odstíny pojmenované a, b, c, jež subjektivně srovnáváme, a nechť výsledek tohoto srovnání vede k výsledkům: a je nerozeznatelné od b, b je nerozeznatelné od c, což zapíšeme aNb, bNc. Jistě platí také aNa, bNb, cNc, takže podmínka (1), [9]charakterizující relace podobnosti, je splněna. Jistě je však splněno bNa, cNb, takže i podmínka (2) je splněna. Naproti tomu nemusí být splněno aNc, neboť odstíny a, c se již mohou natolik lišit, že je rozeznáme (třeba ve smyslu známého Fechnerova „eben merklich“). Neplatí tedy v tomto případě (aNb . bNc) → aNc a tedy neplatí obecně (3), podmínka tranzitivity.[2]

II. Ukážeme si tu ještě jiný přístup ke zkoumání relace podobnosti, který nepostrádá intuitivní názornost. Omezme se pro jednoduchost na konečný počet znaků (příznaků), které mohou mít prvky nějaké třídy A. Nechť a₁, a₂, a₃, …,a_l jsou prvky třídy A. Třída znaků M nechť obsahuje prvky m₁, m₂, m₃, …, m_k. Volme zobrazení tak, aby každému a_i odpovídala zcela určitá podtřída třídy M, takže pro každé i je určeno zobrazení, jehož prvkem je a_i ⇒ M_i, kde M_i ⊂ M, a_i ∊ A.[3]

Definujme nyní relaci P tak, že a_i je podobné a_j tehdy a jen tehdy, když průnik M_i a M_j je neprázdný (M_i ∩ M_j ≠ ∅), tj. když je nějaká neprázdná podtřída M_k ⊂ M, jež je obsažena jak v M_i, tak v M_j. Je okamžitě patrno, že P takto vymezené je reflexívní, neboť a_iPa_i je tehdy a jen tehdy, když M_i a M_i mají společný neprázdný průnik, to je však právě M_i. (Pomíjíme přitom případ, že některému prvku a_i by byla zobrazením přiřazena prázdná podtřída.) Ale P je také symetrické, neboť a_iPa_j ≡ a_jPa_i, protože pro průnik podtříd M_i, M_j platí, jak známo M_i ∩ M_j = M_j ∩ M_i. Lze ukázat, že vymezení podobnosti požadavky (1) a (2) z odst. I a vymezení podobnosti určené právě popsaným zobrazením jsou ekvivalentní. Z toho plyne jisté užitečné osvětlení relace podobnosti: předměty, jež jsou podobné, mají alespoň některé znaky (příznaky) společné. V krajním případě alespoň jeden. A právě početnost společných znaků (příznaků) určuje míru tolerance podobnosti, kterou ještě můžeme v daném případě připustit. Z tohoto hlediska nabylo zkoumání podobnosti v poslední době na důležitosti, např. v mnohých problémech teorie přenosu informace, obecně pak v kybernetice vůbec.[4]

Podobnost, kterou jsme se právě zabývali, lze nalézt i v materiálu lidových přísloví. V Čelakovského Mudrosloví[5] je uvedeno více příkladů, z nichž vybírám: Podoben jak vejce vejci. Ani vejce k vejci, ani mléko k mléku podobnější není (IX, 641, 78). Jsou té barvy (IX, 642, 83). Z jedné jsou louky (tamtéž, 86). Všechny v jeden snopek svážeš (IX, 642, 94).

Je snadné doplnit k těmto příslovím podobu, kterou vyžaduje naše relace. Tak u přísloví Jsou té barvy je možno volit formu vztahového výroku x (je) té barvy jako y, u přísloví Z jedné jsou louky formu x (je) z téže louky jako y. Relace odpovídající těmto formám vztahových výroků jsou zřejmě reflexívní a symetrické.

III. Bude však třeba uvážit, o jakou relaci jde tehdy, když nepochybně jde o podobnost, ale relace ve vztahovém výroku použitá není symetrická.[6] Jde o takové obraty, jež vystihují povědomí nějaké podobnosti, popř. užívají přímo termínu [10]podobný. Patří mezi ně např. obrat: x připomíná y nebo x upomíná na y. Ale vyskytují se hojně též obraty užívající, jak bylo řečeno, termínu podobný, jako ve větě: Mraky se často podobají zvířatům, jež by se daly zobecnit na typ „x se podobá y“. Najdeme je též jak v lidových příslovích, tak u Čelakovského: Neušel matky (jest matce podoben) (IX, 642, 80).

V těchto případech je těžko mluvit o symetrii, neboť abychom se vrátili k příkladu s mraky, neřekneme jistě: Zvířata se často podobají mrakům. Přesto jde zřejmě o nějaký druh podobnosti, intuitivně zřejmý a v jazyku zakotvený, který je však odlišný od podobnosti charakterizované reflexivitou a symetrií té relace, která podobnost realizuje v poli svých prvků. Také Fillmore se zabývá nesymetričností, jež se jeví v postavení dvou názvů ve větě: John resembles Fred.[7]

Píše o tom: “It might be believed that in this sentence the two nouns John and Fred have the same role. One reason for believing such a thing is that in the two noun-phrases straddling the verb resemble both designated entities which are more or less equally observationally accessible, it must always be true that if the first resembles the second, the second resembles the first. Since the analysis as a complex sentence does not suggest itself in this instance, the one-instance-per-clause principle gives me the responsibility of showing that the semantic roles of the two nouns are distinct. I would have to say that the two entities are somehow taken in different ways. I might begin by suggesting that the sentence John resembles Fred involves the judgement that certain properties observable in John are relatable to properties attributable to Fred, with the second noun-phrase serving to identify a standard according to which the entity named by the first noun-phrase is assigned some sort of position”.

V dalším textu rozvádí Fillmore podstatu asymetričnosti obou jmen Fred, John ze zajímavého hlediska, které v tomto článku nebudeme dále sledovat.

Také Fr. Daneš pokládá sémantickou roli subjektů (v logickém smyslu jde o subjekty dvojmístného predikátu) ve formách: x připomíná y ap. za odlišnou.

V dalším textu si všimneme toho, co by se o této nové relaci dalo říci, kdybychom jeden objekt, k němuž je druhý připodobňován, pokládali za vzor, k němuž se může vztahovat více předmětů. Mohli bychom pak přepisovat formu vět typu: x připomíná y, x se podobá y (tento mrak se podobá tygru, tato skála připomíná loď) tak, že budeme druhou proměnnou dočasně fixovat ve smyslu vzoru. Byla by tedy společná forma vět, o nichž hovoříme, asi tato: xPv (x se podobá v). Budeme dále předpokládat, že

(x) [x ≠ v → (xPv ≢ vPx)],

což znamená, že podmínka (2), uvedená u relace typu podobnosti v dřívějším smyslu, nebude splněna. Antecedent implikace x ≠ v je připojen pouze proto, poněvadž v triviálním případě, kdy x = v, je ovšem symetrie splněna.

Ke každé relaci P existuje její konverzní [8] a tuto konverzní relaci můžeme sřetězovat s původní relací známým způsobem.[9]

Je-li tedy xPv, je také . O sřetězené relaci  dokážeme snadno, že je symetrická. Podle definice sřetězení

        (D).

Existenci vzoru v však předpokládáme, a proto můžeme pro jednoduchost postupu [11]vynechat existenční kvantifikátor (EV). Platí tautologicky

        (D,1).

Protože však

        a krom toho         (D,2)

je pravá strana (D,1) po využití obou ekvivalencí a rovnosti z (D,2) transformována na

        (D,3).

Právě napsaný výraz je však podle definice sřetězení ekvivalentní výrazu  (D,4) a dosadíme-li tedy tento poslední výraz za pravou stranu (D,1), což můžeme, neboť jsme užili jen tautologických transformací, dostaneme

        (D,5).

Podle známého axiómu schématu klasické predikátové logiky smíme před ekvivalenci (D,5) představit oba univerzální kvantifikátory, pro x i pro y, takže máme

        (D,6)

a tato formule vyjadřuje symetrii sřetězené relace . (Stačilo již (D,5), protože x, y jsou proměnné, o nichž nic speciálního nepředpokládáme.)

Není nijak obtížné nahlédnout, že naše sřetězená relace  splňuje podmínku reflexivity, neboť jistě je pravdivé  pro každé x, k němuž existuje vzor v, s ním relace P počítá. Dosavadní výsledek říká tedy, že sřetězením relací, o nichž jsme uvažovali v příkladech odst. III., získáme nové relace, jež vyhovují oběma podmínkám relací podobnosti. To znamená: existuje-li vzor, k němuž připodobňujeme nějaké objekty, pak mezi těmito objekty, jež vytvářejí pole nové relace typu  (spolu s v) jest relace typu podobnosti. Skoro triviální je případ, kdy v je název prototypu nějakého výrobku, který se má produkovat hromadně. V tomto případě je podobnost mezi výrobky zřejmá. Mohlo by se však zdát, alespoň na první pohled, že není nutné, aby dva různé objekty, k nimž existuje týž vzor, si byly podobné. Avšak nezapomeňme, že relaci typu SIM, která má vlastnosti REFL a SYM, můžeme získat zobrazením, o němž jsme pojednali v odst. II. Z povahy tohoto zobrazení je pak zřejmé, že relace podobnosti je mezi dvěma objekty, označenými třeba f, g, tehdy a jen tehdy, existuje-li neprázdná množina znaků (příznaků) společných oběma objektům. V krajním případě může taková množina obsahovat jediný znak. Z tohoto hlediska se podobá mrak obrazci z prasklin v maltě, také skále (jejímu obrysu), odpovídají-li pravdě tyto věty:

(tento) mrak se podobá tygru

(tento) obrazec z prasklin v maltě se podobá tygru

(tato) skála se podobá tygru

Nesmíme také zapomínat na důležitou okolnost, že každá věta typu x se podobá v, x upomíná na v ap. má svůj pragmatický aspekt. Obrací se totiž na toho, kdo má určitou zásobu zkušeností a kombinačních (fantazijních) schopností, se kterými počítá ten, kdo větu vyslovuje. Naše příklady s tygrem by triviálně selhaly, kdybychom se obraceli k někomu, kdo nikdy tygra (ani v reprodukci) neviděl. Naproti tomu ten, kdo je s podobou tygra seznámen, může v jeho podobě vidět vzor k obrysům tvarů, o nichž hovoří uvedené tři věty.

Dokázali jsme dosud, že sřetězení nesymetrické relace podobnosti s její konverzní dává novou relaci, jež je symetrická a reflexívní. Můžeme snadno dokázat, že tato [12]nová relace je navíc tranzitivní. (Tato věc není v matematické logice neznámá.) Důkaz:

mějme xPv, yPv, zPv. Tautologicky platí

xPv . yPv . yPv . zPv → xPv . zPv        (T,1).

Podle definice konverzní relace a sřetězení můžeme transformovat jak antecedent, tak konsekvent implikace (T,1), takže

        (T,2).

Protože tato formule byla získána transformací tautologie (podle pravidel predik. logiky), je sama také tautologií a můžeme jí tedy představit obecné kvantifikátory

        (T,2)

ale to znamená, že každé  našeho druhu je také tranzitivní, ve zkratkovém záznamu, tedy .

Protože o P jsme neučinili žádné jiné předpoklady než ty, o nichž byla řeč v textu, můžeme říci, že i tento výsledek platí obecně. Existuje tedy jistě neprázdná třída takových , jež mají vlastnosti  a  a . Krom toho poznamenejme ještě, že relace  je ve srovnání s původní relací vzoru vskutku nová, což je nejlépe vidět z toho, že původní není symetrická, kdežto nová symetrická je. Relace  je proti relacím typu podobnosti, jež splňují jen podmínky REFL a SYM, relací speciální, neboť k dokázaným jejím vlastnostem REFL a SYM přistupuje další vlastnost TRANS.

Relace splňující požadavky REFL, SYM a TRANS jsou v logice a matematice již dlouho velmi dobře známy. Jsou to, jak bylo již řečeno, relace typu rovnosti a mají neobyčejně široké užití v soudobé vědě. Užívá se jich např. k definici abstrakcí (třeba v teorii automatů) tam, kde jiné definice úplně selžou, zejména klasická definice per genus proximum et differentiam specificam. Veliký je také jejich význam v teorii ostré klasifikace, tj. tam, kde dílčí oblasti celé klasifikované oblasti se navzájem vylučují, nemají společné prvky.

Vrátíme se ještě k zobrazení, o němž jsme mluvili v odst. II. Tam jsme si ukázali, jak můžeme dospět k relacím typu podobnosti (SIM) tím, že zobrazíme každý prvek a_i třídy předmětů A na nějakou podtřídu M_i třídy znaků (příznaků) M. Lze ukázat podrobnějším rozborem (viz např. cit. práci Šrejderovu, s. 88), že zobrazení, o němž jsme právě mluvili, se v případě relace typu AEQ specializuje na funkci, která každému prvku A určuje jednoznačně korespondenta (korespondenty) z M. Omezme se na případ, že korespondent je pouze jeden. Pak každému a_i z A je přidělen jediný m_i z M. Všechny prvky z A, jimž je přiděleno totéž m_i z M, tvoří jednu z oblastí celé množiny A. Oblasti A_i, A_j jsou bez společného prvku, je-li m_i ≠ m_j.

IV. Závěrem ještě poznamenáme toto. Sřetězení  je vázáno podle definice na přísnou podmínku existence prvku, který sřetězení umožňuje. To vidíme názorně na každém sřetězení. Tak třeba sřetězením relací bratr a otec dostaneme relaci strýce (z otcovy strany). Je vskutku x strýc y ≡ (Ev) (x bratr v . v otec y). Po provedeném sřetězení (zpravidla elementárnějšími relacemi) „vypadne“ zdánlivě ono v, jehož existence je zaručena existenčním kvantifikátorem, takže relací ‚strýc‘ můžeme v dalším operovat, aniž bychom se o to v starali. Avšak, chceme-li to tak obrazně říci, ono v zůstává pod povrchem relace strýc skryto. Je jasné, že kdyby toto v neexistovalo, můžeme mluvit o strýci jen v přeneseném smyslu, nikoli však ve smyslu příbuzenského vztahu, který může v některých situacích být velmi závažný (třeba z hlediska právního). Kdežto u relace strýc může [13]existence zprostředkujícího v připadat čtenáři směšná, nebude tomu tak, oblékneme-li příklad jinak. Mysleme si, že máme výrobní postup, v němž z x se jedním druhem výroby (B) získá v a z tohoto v se dalším druhem výroby (O) získá y. Pak popíšeme výrobní postup sřetězenou relací x(B;O)y a tu je už existence „mezičlánku“ v značně netriviální. Není-li toto v, sřetězená výroba nefunguje.

Existenci zprostředkujícího v nemusíme však brát v nejužším smyslu fyzické existence toho objektu, který onomu v odpovídá. Takové v může být i dohodnutou (psanou) normou, podle níž se vytvářejí nějaké předměty. Proslulé „na jedno kopyto“ lze též brát v přeneseném smyslu a tak je jistě povětšině míněno. Ani dokonce nemusí jít o existenci „nyní“. Mysleme si, že prohlížíme v galerii některého zámku řadu portrétů jeho majitelů z téhož rodu. Může se stát, že rysy portrétu některého majitele ze vzdálenější minulosti nám připomenou rysy portrétů dvou nebo více pozdějších majitelů. Pak můžeme pokládat rysy prvního portrétu za vzor (v) a rysy druhých za taková x, jež na v upomínají. V tomto případě fixujeme existenci v k jisté historické realitě, právě tak ovšem x.

Vzor může být dán i popisem (nebo zobrazenín) předmětu, který nikdy neexistoval. Tak je tomu třeba s popisy řeckých a římských mytických postav, bohů, heroů aj. Obtížnou otázku, jak si mohou být „podobné“ předměty, jejichž existence je vyloučena logickým sporem v jejich definici (sudá a současně lichá přirozená čísla, slavný „kulatý čtverec“), nebudeme na tomto místě řešit. Faktem je, ovšem značně triviálním, že je všechny váže společná neexistence. Avšak jednoduchá tato otázka není.

Zdá se tedy, že přirozený jazyk pracuje alespoň se dvěma typy podobnosti, které jsou sice odlišné, ale jejichž souvislost může formální logika ukázat. Bylo by zajímavé zjistit, zda jsou v přirozeném jazyce ještě jiné případy podobnosti, jež by se formálně odlišovaly od našich dvou případů. Autor tohoto článku nechce takovou možnost vyloučit.

 

R É S U M É

Sur l’explication de la notion de similitude

Depuis la première édition de Principia Mathematica (1910—1913) de Russell et Whitehead on sait que la notion de similitude peut être expliquée au moyen des relations réflexives et symmétriques. Etant R une telle relation les conditions xRx (1) et xRy ≡ yRx (2) sont valables pour chaque x resp. y qui appartient au domaine de R. Les deux conditions sont tout à fait naturelles parce que chaque objet est semblable à lui même (1) et quand x est semblable à y on a aussi y semblable à x. Les relations satisfaisantes aux conditions (1), (2) sont aussi connues comme relations de tolérance. Elles sont étudiées aujourd’hui surtout au point de vue de la cybernétique. Chaque relation de ce type peut être définie encore d’une autre manière. Si l’on attribue à chaque élément x d’un domaine donné un ensemble M_x des propriétés qui lui appartiennent on peut définir: xRy n’est valable pour chaque x, y que si l’intersection de M_x et M_y n’est pas vide. On démontre facilement que les deux définitions sont équivalentes. Les relations de similitude ne sont pas en général transitives; en effet, on peut trouver beaucoup des exemples quand a est semblable à b, b semblable à c, mais a est dissemblable à c. On peut vérifier facilement l’existence de ce type de similitude dans le matériel de proverbes. On dit p.e. „Semblable comme un oeuf à un autre“, „Ils sont de la même couleur“.

L’auteur de cette remarque doit à M. le professeur Fr. Daneš une idée précieuse qui concerne un autre type des relations de similitude. Ce nouveau type manque de symmétrie. M. Daneš [14]a montré plusieurs exemples qui expriment cette similitude comme „Les nuages sont souvent semblables aux animaux“ ou „Ce fils fait penser à sa mère“. On peut étudier cette nouvelle relation si l’on suppose qu’il existe un objet — une espèce du modèle — auquel on rattache des autres objets. On peut donc écrire xPv — c’est à dire, x est semblable à v, x fait penser à v etc. Les relations de ce type ne sont point symmétriques, parce que la proposition „Ce nuage fait penser à un lion“ est bien naturelle tandisque sa converse „Un lion fait penser à ce nuage“ apparaît bien absurde. Nous pouvons donc supposer sans restriction xPv ≢ vPx pour chaque x et un v fixe (x ≠ v). La relation P et sa converse  donne le produit relatif . On peut donc mettre en relation du produit relatif les membres variables du type x, y suivant l’équivalence

 

Mais parce que v existe (d’après notre supposition) on peut construire un tel produit relatif toujours. Il est facile à démontrer que la relation  est réflexive et symmétrique. De là on peut conclure que  appartient au type des relations de similitude. Mais on peut démontrer en outre que cette relation est transitive ce qui la range au type des relations d’équivalence.

Notre analyse a montré que la langue naturelle (comme la langue tchèque) possède au moins deux types de similitude qui diffèrent au point de vue formel. Le premier s’appuie sur les relations réflexives et symmétriques, le deuxième est caractérisé par une relation assymétrique et par existence du modèle. Le produit relatif de cette relation avec sa converse donne une nouvelle relation qui appartient au type d’équivalence. Il est bien possible que les langues naturelles possédent encore des autres possibilités pour exprimer les relations de similitude ou ressemblance.

Slovo a slovesnost, volume 35 (1974), number 1, pp. 8-14

Previous Karel Horálek: K fonologii češtiny a slovenštiny

Next Miloslava Knappová: O vzniku příslovcí z frazeologických spojení