Znovu o jazyce matematického textu

Ladislav Nebeský

[Články]

(pdf)

Вново о языке математического текста / Once again on the language of mathematical text

Jazyku matematického textu jsme se na stránkách tohoto časopisu věnovali již v článku z r. 1982. Zde se pokusíme o další dvě sondy do této problematiky. Avšak jevy, kterých si všimneme, oblast matematických textů více či méně překračují.

1. V článku (1982) jsme sledovali, jak se v matematickém textu užívá prostředků přirozeného jazyka. Ukázali jsme, že přirozený jazyk je v matematickém textu vystaven extrémním podmínkám: je nucen vyjadřovat ryze abstraktní obsah a zároveň tísněn konkurencí prostředků uměle vytvořených.

1.1. Přirozený jazyk je vysoce účinným nástrojem vyjadřování složitých myšlenek, zejména těch, jejichž složitost vyplývá z rozlišování jemných rozdílů mezi konkrétními významy. Složitost myšlenky v matematickém textu je však zpravidla jiná, je složitostí její abstraktní struktury. Přirozený jazyk je ovšem rovněž vybaven prostředky, které umožňují formulovat složitě strukturované myšlenkové postupy, ale použití takových prostředků nemusí být jednoznačné. Snad nejzřetelnější je to u prostředků vyjadřujících kvantifikaci a negaci. Např. větě Všechny hrany v této množině nemají koncové uzly v množině X lze — bereme-li ji izolovaně — přiřadit hned několik možných logických struktur.[1] Úspěšně ji lze v matematickém textu užít jen tehdy, když dosavadní znalost myšlenky, která je v textu rozvíjena (popř. zkušenost dovolující odhadnout další směr myšlenky), je s to vyloučit všechny možné významy věty až na jeden. Tam, kde se prostředky přirozeného jazyka jeví jako málo spolehlivé, bývají v matematickém textu užity prostředky tak či onak umělé.[2] Mohou to být prostředky symbolické, ale není to nutné: leckdy jde jen o umělejší stavbu věty. Např. uvedenou větu lze v jednom jejím významu nahradit větou Ke každé hraně h této množiny existuje alespoň jeden koncový uzel hrany h, který nepatří do X.[3]

1.2. Porovnejme dvě různá vyjádření téhož matematického tvrzení, které je dobře známo ze středoškolské matematiky:

	A)	Jsou-li dána dvě libovolná (nikoli nutně různá) reálná čísla, potom
(1)		rozdíl mezi druhou mocninou prvního z nich a druhou mocninou druhého z nich je rovný číslu, které získáme, když rozdíl mezi prvním a druhým z obou čísel násobíme součtem prvního čísla s druhým.
	B)	Jsou-li x a y libovolná reálná čísla, potom
(2)		x2 — y2 = (x — y) (x + y)

Zaměříme svou pozornost na rovnost, která je v A) vyjádřena jako věta (1) a v B) jako formule (2). Formule (2) se od věty (1) nápadně liší svou délkou, ale to je pouze důsledek hlubšího rozdílu mezi nimi: v podobě formule (2) se mnohem zřetelněji než v podobě věty (1) obráží struktura matematické myšlenky. A zřetelně obrážet strukturu myšlenky je hlavním důvodem pro užívání symbolických výrazů v matematických textech.[4]

[122]Podívejme se ještě na vyjádření jiného matematického tvrzení:[5]

	Jsou-li x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3,y4 libovolná reálná čísla, potom
(3)		(x12 + x22 + x32 + x42) (y12 + y22 + y32 + y42) = (x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4)2 + (x1y2 — x2y1 + x3y4 — x4y3)2 + (x1y3 — x3y1 + x4y2 — x2y4)2 + (x1y4 — x4y1 + x2y3 — x3y2)2.

Ať bychom již formuli (3) přetlumočili prostředky přirozeného jazyka jakkoli, podoba výpovědi, kterou bychom tím získali, by ve srovnání s formulí (3) zrcadlila strukturu matematické myšlenky mnohem nezřetelněji.

Matematické tvrzení, které jsme vyjádřili formou A) i formou B), se týká jisté operace, která z dvojice reálných čísel vytváří opět reálné číslo. Ani v A), ani v B) není tato operace pojmenována, ani se pro ni neužívá zvláštní znak. Zato je však dvojím, podstatně odlišným způsobem popsána. Tvrzení podává dva rozdílné popisy a říká, že se jimi popisuje totéž. Podoba formule (2) oba popisy téže operace předvádí. A zcela obdobně podoba formule (3) podává dva podstatně odlišné názorné popisy jisté operace s osmicí reálných čísel.

Mnohé symbolické výrazy užívané v matematických textech mají lineární ráz v podobném smyslu, jako jej mají tištěná slova, ale našli bychom hodně příkladů symbolických názvů, které jsou výrazně dvojrozměrné. Patří k nim obvyklé symbolické vyjádření matic, které strukturu tohoto matematického objektu zrcadlí velmi „čitelně“. Podle autorova názoru k nim patří i kresby rovinných grafů, popř. doplněné dalšími symboly; symbolika takového druhu byla s pozoruhodnou účinností využívána v knize G. Ringela (1974) i v dalších pracích, v nichž je kombinována topologická teorie grafů s teorií konečných grup.

1.3. Mohou tedy v matematickém textu prostředky přirozeného jazyka prostředkům uměle vytvořeným vůbec konkurovat? V textech, které se týkají takového způsobu zacházení s matematickými objekty, který je pevně ustálen, mohou být i velmi rozsáhlé myšlenky vyjádřeny symbolickými prostředky bez jakékoli spoluúčasti přirozeného jazyka (jako příklady by bylo možno uvést vyjádření integrálů, matic nebo proudových grafů ve smyslu Ringelovy knihy (1974)). Avšak tam, kde zacházení s matematickými pojmy má povahu více či méně proměnlivou, se s rozsáhlejšími symbolickými výrazy setkáme jen výjimečně; jednotlivé symboly a krátké symbolické výrazy se tam střídají se slovními termíny a slovy neterminologizovanými.

Tím, že lze v matematickém textu volit mezi různými hotovými jazykovými prostředky i nové prostředky v textu vytvářet, si matematická myšlenka od svého jazykového vyjádření zachovává odstup.[6] Díky tomuto odstupu může být matematická myšlenka přenesena z původního zdroje do přehledového článku a dále z jedné monografie do druhé, pokaždé vyjádřena jinak a přitom nezkreslena.[7] Díky tomuto odstupu může být o nějakých dvou nezávisle vzniklých a velmi nepodobně znějících tvrzeních bezpečně zjištěno, že tvrdí totéž. A díky tomuto odstupu mohou být v matematickém textu užity přirozené jazykové prostředky: proti odstředivé síle lexikálních významů, které si přirozený jazyk přináší do matematického textu z oblastí svého obvyklého použití, působí dostředivá síla matematické myšlenky.

Při zkoumání vět a jejich významů je v lingvistice mnohem běžnější postupovat od znění věty k jejímu významu než naopak. Je to nepochybně způsobeno tím, že [123]forma věty je bezprostředně dostupná, zatímco význam věty zachytit a odlišit od jiného významu lze mnohem hůře. To platí především tehdy, když na svět větných významů neklademe žádná omezení. Ale vůbec to neplatí pro svět větných významů, které nabízí matematika; ty mohou být strukturálně velmi složité, ale vždy jsou od sebe spolehlivě rozlišitelné. Jak již autor upozornil jinde (1977), studium způsobů jak vyjádřit matematickou myšlenku může být — vzhledem k její jednoznačnosti a přesnosti — užitečným laboratorním testem pro studium sémantiky přirozeného jazyka.

1.4. V závěru první poznámky rámec matematického textu překročíme, a to shodně s tím, jak prvky matematického vyjadřování překračují oblast (čisté i aplikované) matematiky a vstupují do textů jiných vědních oborů. Prvky matematického vyjadřování najdeme také v textech lingvistických, a to zdaleka nikoli jen těch, které by bylo možné řadit k lingvistice matematické.[8] Upozornili jsme již na to, že hlavním cílem užívání symbolických výrazů v matematických textech je zřetelně obrážet strukturu abstraktní myšlenky. Ale dokonce i myšlenka, která je ve své úplnosti značně vágní, může mít nějaký aspekt, jehož struktura je velmi pevná a přitom netriviální; a proto snaha takovou myšlenku alespoň částečně vyjádřit symbolicky je pochopitelná. Přitom ovšem může být použito i symbolických výrazů podstatně dvourozměrných, které často mají podobu blokových schémat.[9]

Racionálně stavěné texty obsahují tedy různé symbolické výrazy. Ty jsou užívány se záměrem přesněji zrcadlit alespoň některé aspekty vyjadřované myšlenky, a tím zmenšit vzdálenost mezi strukturou výrazu a strukturou významu.[10] Pokusme se na základě tohoto pozorování formulovat požadavek, který by měla splňovat dobrá teorie větné stavby. Nechť T je teorie významové stavby vět a nechť S je věta přirozeného jazyka (na niž se teorie T vztahuje). Vhodným využitím symbolických prostředků změňme větu S do nějaké podoby S′ tak, že se tím zmenší vzdálenost mezi strukturou výrazu a strukturou významu (věty S a S′ mají význam stejný). Věta S′ již ovšem překračuje hranice přirozeného jazyka, a tím se jí tedy teorie T netýká. Teorii T lze ovšem různými způsoby rozšířit tak, aby se týkala i věty S′. Protože podoba věty S′ se od podoby věty S liší tím, že struktura výrazu má blíže k struktuře významu, měla by tedy teorie T připouštět takové rozšíření T′, které se týká i věty S′, v níž je význam věty S′ vysvětlen jednodušeji než význam věty S v rámci teorie T.

2. V článku (1982) jsme uvedli, že pro matematiku znamenají texty i to, co pro jiné vědní obory znamená vývoj přístrojů, příprava preparátů, experimenty, měření, třídění dat apod. Matematický text je prostředím, v němž se — řečeno názvem knihy J. L. Austina (1962) — věci dělají pomocí slov.

2.1. V dalším výkladu nám pomůže pojem, jehož nepřesnost bude snad vyvážena názorností. „Scénou“ matematického textu budeme rozumět všechno to, o čem je v textu právě řeč. V dvou různých místech textu může ovšem scéna vypadat značně různě. Jazyk je v matematickém textu užíván dílem k tomu, aby scénu popisoval, dílem k tomu, aby ji měnil. Vedle výpovědí, kterými se něco o stavu scény konstatuje (např. Hrana h a cesta z x do y v grafu G vytvářejí kružnici), nacházíme věty (a obecněji výpovědi), jimiž se stav scény mění (např. Odstraňme z grafu H uzel w a všechny hrany s ním incidentní).

[124]V matematickém textu je velmi časté užívání sloves v 1. os. pl. imperativu. Frekventované jsou tvary předpokládejme, uvažujme, mějme, položme, definujme, zvolme, dosaďme aj., ale lze se setkat i s dalšími slovesy, např. rozdělme, očíslujme, utvořme, veďme, vynechme, uspořádejme apod. Větami, v nichž je některé z uvedených sloves užito v 1. os. pl. imperativu, se obvykle mění stav scény. Např. věta Uspořádejme prvky množiny A do klesající posloupnosti není výzvou k změně scény, nýbrž se jí přímo scéna změnila tak, že prvky množiny A jsou uspořádány do klesající posloupnosti. Řidčeji nacházíme schopnost bezprostředně měnit scénu u vět se slovesy v 1. os. pl. fut. ind. préz. akt. nedok. (Budeme předpokládat, že x je kladné) a 1. os. pl. ind. préz. akt. dok. (Zvolíme libovolný prvek množiny K). Z jiných druhů vět, kterými se přímo mění scéna matematického textu, uveďme alespoň časté věty s částicí nechť (Nechť a₁, …, a_n jsou celá čísla, Nechť z < 1, Nechť posloupnost (3) konverguje k nule). Mezi množstvím vět v matematickém textu, které považujeme za performativní, protože se jimi přímo provádí to, co říkají, je téměř nemožné najít větu, jejíž sloveso má tvar, který je jinak pro performativní užití slovesa považován za základní (srov. Daneš - Hlavsa a kol., 1981), totiž 1. os. (sg. nebo pl.) ind. préz. akt. nedok. V cit. monografii se však také upozorňuje na to, že performativní platnost mají i věty jiných druhů, a to díky ustáleným konvencím (s. 171). Takovou ustálenou konvencí je ovšem i autorský plurál v odborných textech a další „stylizační triky“, které se na něj váží: v různých místech textu jsou čtenáři přisuzovány různé role, a to jak skutečné (srov. Důkaz tohoto lemmatu se přenechává čtenáři nebo Čtenář si jistě povšiml, že …), tak předstírané, kdy čtenář jako by byl asistentem autora. Tyto „stylizační triky“ vytvářejí jakýsi šum: ten může chápání performativní platnosti některých vět v matematickém textu znesnadnit. Ustálené konvence tedy autora vedou k tomu, aby místo věty Volím libovolné dva nenulové prvky množiny A napsal Zvolme libovolné dva nenulové prvky množiny A; výsledek je stejný: scéna textu se změnila tak, že byly zvoleny dva libovolné nenulové prvky množiny A.

2.2. V knize Daneše - Hlavsy a kol. (1981) se o performativním užití uvažuje jen u verb dicendi, ale soubor sloves, která v matematickém textu mohou plnit performativní funkci, je mnohem rozmanitější. Jedno však mají tato slovesa společné: v rámci matematického textu jsou slovesy abstraktních činností.[11]

Zdálo by se, že z promluv realizujících v matematickém textu abstraktní činnosti bychom mohli vydělit ty, jejichž výsledkem je matematický objekt, a ty, jejichž výsledkem je znak objektu. K těm prvním by patřila věta typu Žádaný graf získáme z grafů G₁ a G₂ tak, že uzel u₁ ztotožníme s uzlem u₂; k těm druhým věta typu Maximální prvek množiny A ∪ B označíme c. Často však je jednou větou nejen uveden na scénu nebo na scéně sestrojen matematický objekt, ale spolu s ním je na scénu uveden i znak tohoto objektu. Taková dvojí činnost je uskutečněna např. větou Uvažujme libovolný prvek x množiny X; tyto dvě abstraktní činnosti bychom osamostatnili, kdybychom uvedenou větu nahradili touto dvojicí vět: Uvažujme libovolný prvek množiny X. Nazveme ho x.[12] Dvojí činnost může realizovat i věta, která obměňuje již větu uvedenou výše: Jako G označíme graf, který z grafů G₁ a G₂ získáme tak, že uzel u₁ ztotožníme s uzlem u₂. Již to, že výsledkem činnosti uskutečněné jedinou větou může být spolu s matematickým objektem i jeho znak, ukazuje, že rozlišení těchto dvou druhů matematické činnosti není jedno[125]duché.[13] Je však ještě další důvod, který proti takovému dělení mluví: se symbolickými výrazy se často zachází podobně jako s matematickými objekty; srov. tyto dva příklady:

Ve výrazu (*) položme x = 0.

Z grafu G odstraňme všechny mosty.[14]

V matematickém textu se střídají věty, jimiž se na scénu přivádějí nebo na scéně mění abstraktní objekty (včetně znaků), a věty, v nichž se o těchto objektech něco tvrdí (od ostatních rolí vět v matematickém textu zatím odhlížíme). Nejde ovšem o lineární střídání, matematický text (a každý jeho rozsáhlejší ucelený úsek) je složitě členěn. Představme si, že se v textu zajímáme o vlastnosti nějaké funkce f reálné proměnné x; na scéně je tedy kromě jiného proměnná x. Budeme předpokládat, že při vyšetřování funkce f je vhodné rozlišovat tři případy: x < 0, x = 0 a x > 0. Úsek textu, v němž vyšetřování probíhá, se dělí na tři části. První začíná větou, jíž se na scéně omezují hodnoty proměnné x na záporná čísla, např. větou Předpokládejme, že x < 0; tato část vrcholí tvrzením, k němuž se dochází. Druhá část začíná změnou scény; proměnné x je přisouzena jediná hodnota, a to nula (např. větou Nyní předpokládejme, že x = 0). Na začátku třetí části se scéna opět změní tak, že hodnoty proměnné x jsou nyní výhradně kladná čísla (Konečně předpokládejme, že x > 0). Druhá i třetí část směřuje k tvrzením, kterými je tvrzení na konci první části doplněno. Úsek textu bude pravděpodobně obsahovat výrok, který tři dílčí tvrzení shrnuje (tento výrok může celý úsek textu bezprostředně předcházet, potom by úsek byl uveden návěštím Důkaz). V každé ze tří uvedených částí sledovaného úseku textu může ovšem dojít k dalším proměnám scény, každá z nich je ovšem omezena jen na jednu část textu.

Počátky vět, jimiž dochází k změně scény, určují členění textu, které se svými formálními vlastnostmi podobá členění věty do spojitých složek: i zde pro kterékoli dvě incidentní „složky“ platí, že jedna je obsažena v druhé; i zde jsou složky nepřerušené.[15] Poznat, že „složka“, která právě začíná, je rovnocenná „složce“, která již začala dříve (je s ní tedy disjunktní), nebo je jí podřízena (je tedy její vlastní částí), lze jednak z obsahové souvislosti, jednak z grafické úpravy, popř. jiné výrazné organizace textu (především členění na číslované případy a podpřípady).

Věta, jíž dochází k změně scény, vytváří předpoklad, z něhož lze činit závěry, a to tak dlouho, dokud tento stav scény trvá. Ten může trvat po celý zbytek textu (např. díky větě V zbývající části textu budeme předpokládat, že je dán souvislý kubický graf G), ale může také skončit spolu s větou; viz např. dvojici vět

Je-li x = 0, je f(x) < 1. Nechť nyní x ≠ 0.

Stav scény, k němuž se vztahovalo tvrzení, že f(x) < 1, byl následující větou zrušen. Každá věta matematického textu, kterou se mění stav scény, má za cíl vytvořit [126]předpoklad pro nějaký závěr. Závěr může být obsažen již ve větě samé, a potom má tato věta podobu implikace. Často však je dán až mnohem později, vede k němu cesta přes předpoklady a závěry dílčí. V prvním případě stav scény nepřetrvá větu, která jej navodila. V druhém případě stav scény navozený větou může trvat dlouho a všechny dílčí změny, ke kterým mezi tím na scéně dochází, jsou tomuto stavu podřízeny.

2.3. Pohled na matematický text, který jsme podali v odd. 2.2., byl záměrně zjednodušující. Ve skutečnosti lze v matematickém textu najít i mnoho jiných vět než ty, kterými je matematický objekt zaváděn, vyčleňován, měněn apod., nebo v kterých se o takových abstraktních objektech vypovídá. Najdeme v něm věty, v nichž se něco předem oznamuje (např. Nyní budeme definovat chromatické číslo grafu, Nyní dokážeme, že A = 0),[16] i věty, v nichž se něco připomíná (např. Dokázali jsme, že A = 0).[17] Najdeme v něm mnoho vět, v nichž se nejenom něco tvrdí, ale čtenář je též k tomuto tvrzení orientován; jsou to věty, které začínají slovy Odtud plyne, že …, Vidíme, že … Je zřejmé, že …, Není těžké ukázat, že …, Čtenář se může sám snadno přesvědčit, že … apod. Svou funkcí v textu se ovšem tyto obraty od sebe liší. Obratem typu Odtud plyne, že … je obvykle uváděno tvrzení, které popisuje výsledek právě dokončené abstraktní činnosti. Obratem typu Čtenář se může sám snadno přesvědčit, že … je čtenář orientován mimo text; autor mu vlastně přenechává scénu. A konečně zase jinou funkci mají obraty typu Je zřejmé, že …, Povšimněme si, že … apod., jimiž se uvádějí tvrzení, jejichž platnost lze v daném místě textu bez dalšího nahlédnout.

2.4. Závěrem naší druhé poznámky zaznamenejme, že i v odborných textech z jiných oblastí než matematiky je výklad někdy podáván tak, že do skutečnosti, o kterou v textu jde, se vkládají nějaké myšlené souřadnice, že se tato skutečnost nějakým způsobem značkuje apod.; obecněji řečeno, že se pro účely výkladu zavádějí nějaké myšlené objekty. Takové texty potom obsahují slovesa vyjadřující abstraktní činnost a tato slovesa jsou ve výkladu užívána i performativně. Naznačený způsob výkladu se potom vlastně nijak podstatně neliší od způsobu výkladu obvyklého v matematice. Zde jsme ho použili především v závěru první poznámky.

 

LITERATURA

 

AUSTIN, J. L.: How to do with words. Cambridge, Massachusetts 1962.

DANEŠ, F. - HLAVSA, Z. a kol.: Větné vzorce v češtině. Praha 1981.

LYONS, J.: Semantics 1, 2. Cambridge 1977.

NEBESKÝ, L.: O jazyce matematického textu. SaS, 43, 1982, s. 88—92.

NEBESKÝ, L.: The arteficiality and naturalness of the language of mathematics. Linguistica Generalia 2. AUC. Philologica 5, Praha 1977.

NOVÁK, P.: Poznámky o jazyce lingvistiky (O směšování funkčních úseků textů v lingvistice). SaS, 44, 1983, s. 83—90.

RINGEL, G.: Map color theorem. Berlin 1974.

RYCHLÍK, K.: Úvod do elementární teorie čísel. Praha 1931.

 

[127]R É S U M É

Once again on the language of mathematical text

The article deals with two different aspects of natural linguistic means as used within the frame of mathematical text. The first part is concerned with the concurrence of natural language means and symbolic means. The author shows that the principal aim of using symbolic means in mathematical text is to reduce the difference between the structure of form and the structure of idea expressed. The subject of the second part is the performative use of verbs in mathematical text. The author pays attention to the formation and transformation of mathematical objects in text by means of verbs expressing abstract activities.

Slovo a slovesnost, ročník 45 (1984), číslo 2, s. 121-127

Předchozí Simeon Romportl: Úloha rázu a jeho ekvivalentů při signalizování předělu

Následující Jasňa Šlédrová: Sémantické odchylky v zapamatování věty